Termodynaaminen systeemi ja paine

Alustat siirtävät lämpöä eri tavalla jääpaloihin. Jääpala sulaa alustalla, josta johtuu lämpöä jääpalaan. Alusta on huoneen lämpötilassa, ja sillä on korkeampi lämpötila kuin jääpalalla. Jääpalan vastaanottama lämpö sulattaa sitä.

Toinen alusta on eriste. Lämpöä siirtyy huonosti alustasta jääpalaan. Koska lämpöä siirtyy vain vähän, ei jääpala myöskään sula.

Eristeen lämpötila ei muutu, mikä nähdään lämpökamerakuvassa. Lämpöä johtava alusta viilenee sulamisveden vaikutuksesta. Tämä näkyy alustan erilaisena värityksenä lämpökamerakuvassa.​

a. On selvitettävä säiliön tilavuus 80-asteisena. Teräksen lämpölaajenemiskerroin on 12⋅10^-6 1/K. Sylinterin muotoisen säiliön tilavuus saadaan laskemalla $$ \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{2}h$$, missä $$ r$$ on pohjaympyrän säde ja $$ h$$ sylinterin korkeus. Lasketaan nämä 80,0 asteessa (eli lämpötilan muutos on 69,0 astetta):

$\[ r=r_0+r_0\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T=0,310\text{ m}+0,310\text{ m}\cdot <!--\; \cdot \; -->12\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6}1/\text{K}\cdot <!--\; \cdot \; -->69\text{ K}=0,3102566\text{ m}\approx <!--\; \approx \; -->0,310257\text{ m} \]$

$\[ h=h_0+h_0\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T=1,55\text{ m}+1,55\text{ m}\cdot <!--\; \cdot \; -->12\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6}1/\text{K}\cdot <!--\; \cdot \; -->69\text{K}=1,551283\text{ m}\approx <!--\; \approx \; -->1,55128\text{ m} \]$

Lasketaan tilavuus näillä arvoilla:

$\[ V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{2}h=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{(0,310257\text{ m})}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->1,55128\text{ m}=0,469119\dots <!--\; \dots \; -->{\text{m}}^3\approx <!--\; \approx \; -->0,469{\text{ m}}^3 \]$

Säiliöön mahtuu siis noin 469 litraa vettä.

Vastaus: noin 469 litraa

b. Sekä säiliö että vesi kutistuvat lämpötilan laskiessa. Lasketaan ensin säiliön tilavuus 22 asteen lämpötilassa. A-kohdan tavoin saadaan

$\[ V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{2}h=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{(0,310\text{ m}+0,310\text{ m}\cdot <!--\; \cdot \; -->12\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6}\cdot <!--\; \cdot \; -->11\text{ K})}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->(1,55\text{ m}+1,55\text{ m}\cdot <!--\; \cdot \; -->12\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6}\cdot <!--\; \cdot \; -->11\text{ K})=0,46814\dots <!--\; \dots \; -->{\text{m}}^3\approx <!--\; \approx \; -->0,4681{\text{m}}^3 \]$

Veden tilavuuden muutos saadaan selvitettyä tarkemmin käyttämällä veden tiheyden taulukkoarvoja eri lämpötiloissa. 80,0-asteisen veden massan saa laskemalla

$\[ m={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{80}{V}_{80}, \]$

missä V80 on 80,0-asteisen veden tilavuus (siis a-kohdassa laskettu säiliön tilavuus). Veden massa ei muutu sen jäähtyessä. Lasketaan siis, paljonko sama massa vie tilaa 22 asteessa:

$\[ V_{22}=\frac{m}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{22}}=\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{80}{V}_{80}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{22}}=\frac{0,97181\text{ kg}/\text{l}\cdot <!--\; \cdot \; -->469,12\text{ l}}{0,99778\text{ kg}/\text{l}}=456,90\dots <!--\; \dots \; -->\text{l}\approx <!--\; \approx \; -->456,9\text{l} \]$

Säiliön koko on siis nyt noin 468,1 litraa ja siellä on noin 456,9 litraa vettä.

Säiliöön mahtuu lisää vettä noin

$\[ 468,1\text{ l}-<!--\; -\; -->456,9\text{ l}=11,2\text{ l}\approx <!--\; \approx \; -->11\text{ l} \]$

Vastaus: noin 11 litraa

a. Lääkeruiskuja yhdistävässä letkussa vallitsee vakiopaine. Paineen $$ p$$ määritelmän mukaan $$ p=\frac{F}{A}$$, missä $$ F$$ on voima ja $$ A$$ pinta-ala. Kun männän pinta-ala suurenee, tarvitaan saman paineen tuottamiseksi isompi voima, koska voiman ja pinta-alan suhde on vakio. Isomman männän pintaan kohdistetaan suurempi voima.

b. Paineen määritelmästä seuraa

$$ p={\displaystyle \frac{F_1}{A_1}}={\displaystyle \frac{F_2}{A_2}}$$

$$ F_1={\displaystyle \frac{F_2{A}_1}{A_2}}$$

Männät ovat ympyrän muotoisia

$$ A=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2$$

$$ F_1={\displaystyle \frac{F_2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\left({\displaystyle \frac{d_1}{2}}\right)}^2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2}}$$

$$ F_1={\displaystyle \frac{F_2{d}_1^2}{d_2^2}}$$

$$ F_2=35\mathrm{N}$$
​​$$ d_1=31\mathrm{m}\mathrm{m}$$
$$ d_2=14\mathrm{m}\mathrm{m}$$

Huom. yhtälössä pinta-alan yksiköt kumoavat toisensa, joten pinta-alaa laskettaessa pituutta ei ole välttämätöntä ilmoittaa yksikössä metri. Tällainen tilanne esiintyy, kun yhtälö muodostuu kahdesta identtisestä lausekkeesta, jotka tässä tilanteessa ovat $$ p=\frac{F}{A}$$.

$$ F_1=\mathrm{171,607}\mathrm{N}\approx <!--\; \approx \; -->170\mathrm{N}$$