Graafinen malli

Fysiikka on luonnonilmiöiden mallintamista. Malli tarkoittaa yksinkertaistettua esitystä jostakin kappaleesta tai ilmiöstä. Samaa ilmiötä voidaan esittää useilla erityyppisillä malleilla, jotka korostavat ilmiön eri piirteitä.

Tarkastellaan esimerkkinä veden lämmittämistä vedenkeittimessä. Veden lämpötilan voidaan havaita nousevan säännönmukaisesti suhteessa aikaan. Lämpötilan ja ajan riippuvuus voidaan esittää kuvaajana eli graafisena mallina.

Kuvaajaa tarkasteltaessa voidaan päätyä matemaattiseen yhtälöön, joka ilmaisee riippuvuuden lämpötilan T ja lämmitykseen kuluneen ajan t välillä. Kyseessä on matemaattinen malli.

Yhtälössä T₀ ilmaisee veden lämpötilan lämmityksen alussa. k on keittimen ja veden ominaisuuksista riippuva vakio.

Lämpenevää vettä voidaan toisaalta tarkastella yksittäisten molekyylien tasolla. Lämpötilan nousu ilmenee veden molekyylien voimistuvana liikkeenä. Alla oleva animaatio on malli, joka havainnollistaa ilmiötä mikroskooppisella tasolla.

Tutkittaessa suureiden välisiä riippuvuuksia suunnitellaan koejärjestely ja mittaus riippuvuuden löytämiseksi. Mittauksen tulokset kirjataan taulukkoon. Taulukossa ilmaistaan mitattu suure nimellä ja tunnuksella. Pelkkää suureen tunnusta voidaan käyttää, mikäli se kertoo yksiselitteisesti mitatun suureen. Taulukko voidaan tehdä mittaustulosten käsittelyyn soveltuvalla ohjelmistolla tai taulukkolaskentaohjelmalla.

Kahdelle suureelle taulukoidut tulokset esitetään graafisesti koordinaatistossa. Koordinaatiston vaaka-akseli ilmaisee yhden suureen ja pystyakseli toisen. Akseleilla ovat suureen nimi tai tunnus sekä suureen yksikkö. Graafisesta mallista päätellään, onko suureiden välillä säännöllinen riippuvuus ja minkälainen riippuvuus on kyseessä. Riippuvuuden hahmottamiseksi vaaditaan riittävästi mittauspisteitä. Kaksi pistettä on liian vähän, sillä niiden kautta voidaan muodostaa minkämuotoinen käyrä tahansa. Viisi mittauspistettä on kohtuullinen määrä, enemmän on aina parempi. Säännölliseen pistejoukkoon voidaan sovittaa käyrä ja määrittää sen yhtälö.

Esimerkki: Putoavat kappaleet

Koejärjestelyssä tutkittiin paperikartion ja pallon putoamisliikettä. Pudotukset videoitiin ja videoanalyysin avulla määritettiin kappaleiden nopeudet $v$ ajan $t$ funktiona. Video ja taulukoidut tulokset on esitetty alla.

Taulukoitujen tulosten perusteella nähdään, että nopeus suurenee ajan putoamisajan kasvaessa, mutta lukuarvoista ei voida suoraan päätellä, missä suhteessa muutos tapahtuu. Tuloksista piirretään kuvaaja. Putoavien kappaleiden nopeus kasvaa ajan kuluessa, joten on luontevaa esittää aika vaaka-akselilla ja nopeus pystyakselilla.

Molemmissa kuvaajissa on havaittavissa säännönmukainen muoto. Nopeudet kasvavat, joten kappaleiden liikettä voidaan kutsua muuttuvaksi ja tarkemmin kuvaten kiihtyväksi. Riippuvuutta mallinnetaan sovitteella. Se on käyrä tai suora, joka mukailee mittauspisteitä. Sovite ei saa peittää mittauspisteitä ja yksittäisten mittauspisteiden on erotuttava edelleen kuvaajassa. Yhdenkään pisteen ei tarvitse osua täsmälleen sovitteelle, koska mittauksiin sisältyy aina virheitä. Osa pisteistä jää sen yläpuolelle ja osa alapuolelle. Paperikartion nopeutta ilmaisee parhaiten käyrä, joka muuttuu ajan kasvaessa loivemmaksi. Pallon nopeus vaikuttaa sen sijaan muodostavan suoran. Kappaleet siis putoavat eri tavoin. Järkeviä sovitteita voi olla useita. Sopivimman vaihtoehdon löytämiseksi vaaditaan tarkempia mittauksia tai taustateoriaa. Jos vaadittavaa teoriaa ei ole tiedossa, silmämääräisesti tehty mielekäs sovite riittää.

Interpolointi

Mallien avulla tehdään ennusteita luonnonilmiöistä. Putoavan pallon nopeus määritettiin muutaman sekunnin kymmenyksen välein, ja mittauspisteet muodostivat likimäärin suoran. On ilmeistä, että nopeus on kasvanut lineaarisesti myös mitattujen pisteiden välissä. Tuloksiin sovitettua suoraa hyödyntäen voidaan arvioida pallon nopeuksia sellaisillakin hetkillä, jolloin nopeutta ei mitattu. Nopeuden arviointia kahden mittauspisteen välissä kutsutaan interpoloinniksi. Alla olevassa kuvaajassa on määritetty pallon nopeudeksi 3,2 m/s hetkellä 0,30 s mittausohjelman interpolointitoiminnon avulla.

Ekstrapolointi

Putoavan pallon nopeuden graafisen mallin perusteella voidaan myös ennustaa pallon nopeutta, jos pallo pudotetaan korkeammalta ja kauemmin kestävän putoamisliikkeen oletetaan jatkuvan samanlaisena. Sovitesuoraa jatketaan mittauspisteiden rajoittaman välin ulkopuolelle ja suoralta luetaan nopeuden arvoja. Menetelmää kutsutaan ekstrapoloinniksi. Alla olevassa kuvaajassa on ekstrapoloimalla arvioitu pallon nopeudeksi 16 m/s, kun se on pudonnut 1,5 s sekunnin ajan.

Ekstrapolointi on järkevää vain silloin, kun mitattu ilmiö oletetaan samanlaiseksi mittausalueen ulkopuolella. Putoavan pallon tapauksessa ekstrapolointi on luotettavaa muutama sekunti eteenpäin. Pidempikestoisten mittausten tai taustateorian perusteella voidaan osoittaa, että putoaminen ei jatku samanlaisena useita kymmeniä sekunteja. Tämä tarkoittaa, että lineaarisen mallin pätevyysalue on rajallinen.