Luku 2.1 (Yläkoulun matematiikka 9)

Mikä on polynomi?

  • Polynomi
  • Polynomin asteluku
  • Polynomin järjestäminen
  • Polynomin arvo
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Polynomi

Polynomi P on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakiosta sekä muuttujan potensseista yhteenlaskemalla, vähentämällä tai kertomalla.

Polynomissa voi olla useita eri muuttujia.

  • Polynomi, jossa on yksi muuttuja x, merkitään P(x).
  • Kahden muuttujan polynomi merkitään P(x, y).
  • Yksittäistä lukua kutsutaan vakiotermiksi.

Huomaa

  • Polynomi, joka sisältää vain yhden termin, on monomi.
  • Polynomi, joka sisältää kaksi termiä, on binomi.
  • Polynomi, joka sisältää kolme termiä, on trinomi.

Esimerkki 1

Monomi

  1. Yhden muuttujan monomi
    P\left(x\right)=9x^7
  2. Kahden muuttujan monomi
    ​​M\left(a,\ b\right)=2ab

Binomi

  1. Yhden muuttujan binomi
    Q\left(x\right)=3x^4-x
  2. Kahden muuttujan binomi
    ​B\left(x,\ y\right)=6x^3-2y^2​

Trinomi

  1. Yhden muuttujan trinomi
    ​T\left(x\right)=4x^6-3x^4+1​
  2. Kolmen muuttujan trinomi
    S\left(l,\ m,\ n\right)=l^2+2m+5n​
        • x2+y+3
        • 3x2y
        • ab-2
        • 3x2+y
        • -2ab
        • a+b-2
        • y2-y
        • x2-y+1
        • –3
        • –2
        • –1
        • 0
        • 1
        • 2
        • 3
        • 4
        • 5

        Polynomi

        Aste

        Vakiotermi

        5x^4-x^2-3

        -2y^3+y^5-1

        3x^3-x^2-x

        -y^2+3y+3

        1+2x+3x^3

        Polynomin asteluku

        Polynomin aste on sama kuin suurinta astetta olevan termin eksponentti.

        Esimerkki 2

        Polynomin P\left(x\right)=5x^3+2x^2-x+7 

        • ​aste on 3, koska suurin eksponentti on termillä 5x3,
        • vakiotermin aste on nolla, sillä 

        7\cdot x^0=7\cdot1=7.

        Lisää aiheesta
        Muut toiminnot

        Polynomin arvo

        Esimerkki 3

        Polynomin arvo voidaan laskea, kun muuttujan arvo tiedetään.

        Lasketaan polynomin Q\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-6 arvo, kun x = 3.

        Q(3)-merkintä tarkoittaa, että polynomin Q arvo voidaan laskea, kun muuttujan paikalle sijoitetaan luku 3.

        Q\left(3\right)=2\cdot3^3-3^2+3\cdot3-6=48

        Polynomin järjestäminen

        Polynomin arvo ei muutu, jos termien järjestys muuttuu.

        Yleensä polynomin termit kirjoitetaan termien asteen mukaisessa järjestyksessä suurimmasta pienimpään. Viimeiseksi kirjoitetaan vakiotermi.

        Q\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-6

        P(x) =

        • -2x7
        • +3x4
        • +5x6
        • -2x
        • +5
        • -5x2

        Q(y) =

        • +y
        • +4y5
        • -7y3
        • +2y4
        • +y2
        1. R\left(x\right)=2x^3-5x^2+1
          R\left(2\right)=
          2 ⋅ 3 – 5 ⋅ 2 + 1 = 
        2. T\left(y\right)=-3y^4+y^3
          T\left(-1\right)=
          –3 ⋅ ()4 + ()3 = 
        Lisää aiheesta
        Muut toiminnot

        Harjoittele

        Polynomi

        Aste

        Vakiotermi

        Nimi

        3x^3+1

        -3x

        5x^2-2

        -x^5+x-1

        -12x^6

        1. P(0) = 
        2. P(2) = 
        3. P(–2) = 
        1. P(0) = 
        2. P(2) = 
        3. P(–2) =  
        1. Q(0) = 
        2. Q(–1) = 
        3. Q(3) = 
        1. R(1) = 
        2. R(–1) = 
        3. R(2) = 
        Lisää aiheesta
        Muut toiminnot

        Hyvä osata

        P\left(x\right)=5x-3,Q\left(x\right)=3x+5,a=7 ja b=-18.

        1. Kun P\left(x\right)=a, niin x = .
        2. Kun P\left(x\right)=b, niin x = .
        3. Kun P\left(x\right)=Q\left(x\right), niin x = .

        P\left(x\right)=x^2-1,Q\left(x\right)=x^2+2x+3, m=-1 ja n=3.

        1. Kun P\left(x\right)=m,niin x = .
        2. KunP\left(x\right)=Q\left(x\right), niin x = .
        3. Kun P\left(x\right)=n,niin x = 
        • –2
        • –1
        • 0
        • 1
        • 2
        • 3

        Järjestäminen

        • 2+x3
        • 3x-2x2+1
        • x2+2x-3
        • x3-6x
        • x2+2x-3
        • 3x-2x2+1
        • x3-6x
        • 2+x3
        • 2+x3
        • x3-6x
        • x2+2x-3
        • 3x-2x2+1
        • Jos x = 3 cm, niin 
          p =  cm.
        • Jos neliön piiri on 48 cm, niin
          x =  cm.
        • Jos x = 5 cm, niin
          p =  cm.
        • Jos suorakulmion piiri on 56 cm, niin
          x =  cm.
        • Jos x = 4 cm, niin
          p =  cm.
        • Jos p = 72 cm, niin
          x =  cm.
        Lisää aiheesta
        Muut toiminnot

        Ekstra

        Polynomin arvot

        Polynomin Q(x) = x4 – 2x3 – 3 kaikki mahdolliset arvot, kun muuttujan x arvot ovat lukujen –1 ja 2 välillä.

        • –4
        • –3
        • – 2
        • –1
        • 0
        • 1
        • 2
        • 1,5
        • 0,5
        • –0,5
        • –1,5
        1. Jos x = –1, niin Q(x) = 
        2. Jos x = 1, niin Q(x) = 
        3. Jos x = , niin Q(x) = –2,6875
        4. Jos x = , niin Q(x) = –3,1875
        • –4
        • –3
        • – 2
        • –1
        • 0
        • 1
        • 2
        • 1,5
        • 0,5
        • –0,5
        • –1,5
        • =
        • <
        • >
        1. Polynomin arvo on pienin silloin,
          kun x = 
        2. Vertaile: Q(0)  Q(2)
        3. Vertaile: Q(0,8)  Q(1,9)
        4. Vertaile: Q(1,3)  Q(1,8)
        Lisää aiheesta
        Muut toiminnot
        Odota